Question

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如下图所示，直角梯形ABCD.AB垂直AD，BC//AD.SA垂直平面ABCD，且SA=AB=BC=a，AD=2a。
（1）求证：平面SCD垂直平面SAC；
（2）求二面角A－SD－C的正弦值；
（3）求直线SD与AC所成角的余弦值。

Answer 1

因为SA垂直平面ABCD .AB垂直AD
建立空间直角坐标系
A(0,0,0,)D(2a,0,0) B(0,a,0) C(a,a,0) S(0,0,a)
1，
A(0,0,0,)C(a,a,0) S(0,0,a)
面SAC法向量（1，-1，0）
C(a,a,0) S(0,0,a)D(2a,0,0)
面SCD法向量（1，1，2）
因为两法向量垂直
所以平面SCD垂直平面SAC
2，
A(0,0,0,)D(2a,0,0)S(0,0,a)
面ASD法向量（0，1，0）
面SCD法向量（1，1，2）
所以cos@=根号6/6
所以
求二面角A－SD－C的正弦值为 根号30/6
3,向量SD（2a,0,-a）
向量AC(a,a,0)
所以直线SD与AC所成角的余弦值为 根号10/5