Question

一道关于幂函数的数学题~~o(>_<)o ~~

已知幂函数f(x)=x^(3m-9)(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随x的增大而减小，求该函数的表达式。

Answer 1

在（0，+∞）上函数值随x的增大而减小
∴f’(x)=(3m-9)x^(3m-10)在(0，+∞)上<0
又x>0 故x^(3m-10)>0
∴(3m-9)<0 →m<3
又图像关于y轴对称
∴f(x)=f(-x)
可得(3m-9)为偶数 →m=1
∴f(x)=x^(-6)

Answer 2

由于图像关于y轴对称，知f(x)=f(-x),那么可以知道(3m-9)一定是为偶数。
又因为在（0，+∞）上函数值随x的增大而减小，可知f'(x)<0,即f'(x)=(3m-9)x^(3m-10)<0.因为是在（0，+∞）上，所以x^(3m-10)>0,即(3m-9)<0,推出m<3.
联立第一个结论，并且m为正整数，可以知道m=1
最后就可得函数表达式为f(x)=x^(-6)

Answer 3

关于Y轴对称->偶函数->3m-9应为偶数->3m为奇数->m为奇数（前提是m为正整数）
函数在正区间递减，所以3m-9<0 -> m<3 所以可以推断 m取值为0 1 2

因为m为奇数
所以 可是m应取1

所以3m-9=-6