Question

数学好的来看看，初中题目.（这道题目没有图）

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1,2）.
（1）若a=1，抛物线定点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值.
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值.

Answer 1

解：⑴由题意，a＋b＋c＝2， ∵a＝1，∴b＋c＝1
抛物线顶点为A（－b2，c－b24）
设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
∴|BC|＝| x1－x2|＝| x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4 x1x2＝b2－4c
∵△ABC为等边三角形，∴b24 －c＝ 32b2－4c
即b2－4c＝23?b2－4c，∵b2－4c＞0，∴b2－4c＝23
∵c＝1－b， ∴b2＋4b－16＝0， b＝－2±25
所求b值为－2±25
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.
∴a＞0．
∵b＋c＝2－a，bc＝4a
∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋4a＝0的两实根．
∴△＝（2－a）2－4×4a≥0，
∴a3－4a2＋4a－16≥0， 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.
∵abc＞0，∴a、b、c为全大于0或一正二负．
①若a、b、c均大于0，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,
则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，
∵ a≥4，故2a－2≥6
当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6．

Answer 2

⑴抛物线过（1,2）.
即a＋b＋c＝2，
∵a＝1，∴b＋c＝1
抛物线顶点为A（－b2，c－b24）
设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0
∴|BC|＝| x1－x2|＝| x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4 x1x2＝b2－4c
∵△ABC为等边三角形，∴b24 －c＝ 32b2－4c
即b2－4c＝23?b2－4c，∵b2－4c＞0，∴b2－4c＝23
∵c＝1－b， ∴b2＋4b－16＝0， b＝－2±25
所求b值为－2±25
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.
∴a＞0．
∵b＋c＝2－a，bc＝4a
∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋4a＝0的两实根．
∴△＝（2－a）2－4×4a≥0，
∴a3－4a2＋4a－16≥0， 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.
∵abc＞0，∴a、b、c为全大于0或一正二负．
①若a、b、c均大于0，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；
②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,
则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，
∵ a≥4，故2a－2≥6
当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6．