Question

已知X,y是正实数，且xy-x-y=1,求证x+y>/2+2√2

>/是大于和等于
高一不等式证明

Answer 1

解：x>0,y>0
根据基本不等式:
x+y≥2√(xy)
∴xy-x-y=xy-(x+y)=1≤xy-2√(xy)
∴xy-2√(xy)≥1
xy-2√(xy)-1≥0
令√(xy)=t （t≥0）
解得:
√(xy)≤1-√2(舍去)
√(xy)≥1+√2
∴xy≥(1+√2)^2
=3+2√2
∵x+y=xy-1
∴x+y≥2+2√2

也可以先从x+y考虑
xy-(x+y)=1≤(x+y)^2/4-(x+y)
∴(x+y)^2/4-(x+y)≥1
∴(x+y)^2-4(x+y)-4≥0
解得:
x+y≥2+2√2

综上所述
x+y的取值范围是:x+y≥2+2√2

Answer 2

x>0,y>0

xy-x-y=1

x(y-1)-(y-1)=2

(x-1)(y-1)=2

(x-1)+(y-1)>=2倍根号(x-1)(y-1)>=2倍根号2

x+y>=2+2倍根号2

Answer 3

x+y>=2√xy =>xy<=(x+y)^/4
xy-x-y=1<=(x+y)^2/4-(x+y)
可得(x+y)^2-4(x+y)-4>=0
解得x+y>/2+2√2