Question

高数证明题，需要过程

高数证明题，需要过程

Answer 1

证明：F(x)=∫（0,x）(2t-x)f(t)dt
=2∫(0,x)tf(t)dt-x∫(0,x)f(t)dt
F′(x)=2xf(x)-[x∫(0,x)f(t)dt]′
=2xf(x)-[(x)′∫(0,x)f(t)dt+x(∫(0,x)f(t)dt)′]
=2xf(x)-[∫(0,x)f(t)dt+xf(x)]
=2xf(x)-∫(0,x)f(t)dt-xf(x)
=xf(x)-∫(0,x)f(t)dt
由积分中值定理：
∫(0,x)f(t)dt=xf(ξ),ξ介于0与ξ之间
∴F′(x)=xf(x)-xf(ξ)
=x[f(x)-f(ξ)]

若x≥0,则ξ∈[0,x]即ξ≤x
又由f(x)是减函数
∴f(ξ)≥f(x)
∴F′(x)≤0

若x＜0,则ξ∈[x,0]即x＜ξ
又由f(x)是减函数
∴f(x)>f(ξ)
∴F′(x)≤0
综上，F(x)是减函数.

Answer 2

因 F′(x)=d/(dx)∫{0,x}(2t-x)f(t)dt

=d/(dx)∫{0,x}2tf(t)dt-d/(dt)(x∫{0,x}f(t)dt)

=2xf(x)-∫{0,x}f(t)dt-xf(x)

=xf(x)-∫{0,x}f(t)dt

=xf(x)-xf(ξ)

=x[f(x)-f(ξ)]

＜0 (f(x) 递减, ξ 介于 0 与 x 之间)

Answer 3

由于书写不变，讲讲思路吧，
将Fx=拆成两项积分，然后对x求导，证明导函数《=o即可，注意用到fx的导函数《=0.