Question

不等式证明题

已知a>0,b>0,c>0,且不全相等，若abc=1，求证1/a +1/b +1/c >√a +√b+√c
√是根号。

Answer 1

已知：a>0,b>0,c>0,且不全相等，abc=1，
所以有：
1/a + 1/b + 1/c
= bc + ca + ab
= (1/2)(ca+ab) + (1/2)(ab+bc) + (1/2)(bc+ca)
＞ √(a²bc) + √(ab²c) + √(abc²)
= √a + √b + √c

Answer 2

证明:
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/abc
=ab+bc+ac
=(1/2)[(ab+bc)+(ab+ac)+(ac+bc)]
≥(1/2)[2(ab*bc)^(1/2)+2(ab+ac)^(1/2)+2(ac+bc)^(1/2)]
=(abc*b)^(1/2)+(abc*a)^(1/2)+(abc*c)^(1/2)
=b^(1/2)+a^(1/2)+c^(1/2)