Question

设f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>=-1，求f(x)的单调区间

要用求导的方法做，要求导之后的讨论全过程。

Answer 1

定义域：x>-1
f'(x)=a-(a+1)/(x+1)

当a=0时，f'<0， f单调递减；
当-1=<a<0时 f’< 0 解得：x>1/a恒成立( 1/a<=-1 ，x>-1),故f恒单调递减；
当0<a时， f’< 0 解得：x<1/a ,故f在（-1，1/a)上单调递减，在（1/a,正无穷）上单调递增。

Answer 2

记f(x)的导数为g(x)
g(x)=a-(a+1)/(x+1), (x>-1)
令g(x)=0 解得a(x+1)=a+1，ax=1

若a=-1时，
f(x)=-x，在(-1,+∞)单调递减
若-1<a<0时，
令g(x)>0，得a(x+1)>a+1，化简得ax>1，与x>-1矛盾
所以g(x)<0，即f(x)在(-1,+∞)单调递减
若a=0时，
g(x)= -1/(x+1),
由于x>-1，所以g(x)<0，即f(x)在(-1,+∞)单调递减
若a>0时，
令g(x)>0，得a(x+1)>a+1，化简得x>1/a，
令g(x)<0，得a(x+1)<a+1，化简得x<1/a,
所以f(x)在(-1,1/a)单调递减，在[1/a,+∞)单调递增

综上，1=<a=<0时，f(x)在(-1,+∞)单调递减
a>0时，f(x)在(-1,1/a)单调递减，在[1/a,+∞)单调递增