Question

高三一轮复习

设f(x)=根号下（ax^2+bx）,求满足下列条件的实数a的值，至少有一个正实数b,使函数f(x)的定义域和值域相同

Answer 1

首先呢，就是求出定义域！

当然啦，是带有字母的定义域。

这里显然定义域就是满足：ax^2+bx大于等于0的x的范围（因为根号下嘛）
所以呢：x（ax+b）大于等于0
因为定义域和值域，又因为他的值域必定在非负实数范围内
所以如果是x小于等于0，ax+b小于等于0就不用考虑了

那么一定是x大于等于0，ax+b大于等于0

也就是说，他的定义域是：
x大于等于0 （0大于等于-b/a时）
x大于等于-b/a （0小于-b/a时）

我们先考虑第一种：
定义域是一切非负实数，那么值域也是一切非负实数
也就是ax^2+bx的值域是非负实数
显然只要a大于0就行了（判别式=b^2恒大于等于0），再根据0大于等于-b/a
那么b的范围是大于等于0，因此一定满足

再考虑第二种
定义域是[-b/a ,＋无穷)
那么ax^2+bx的值域是[(b/a)^2 ,＋无穷)
因此：a大于0，最低点纵坐标大于等于(b/a)^2
综上得到：b=0或a小于等于-4
显然都是无解的

综上所述：a的范围(0,正无穷)