Question

求解数列题目

设a1，a2，a3……an是各项不为0，n(n≥4)项等差数列，且d不为0，若将此数列删去一项后为等比数列，求一n=4时，a1/d的值，二n的可能值

Answer 1

一、当n=4时
设等差数列
a2=a1+d
a3= a1+2*d
a4= a1+3*d

删去第1项后为等比数列
有：
(a1+d)*( a1+3d)= (a1+2*d)^2
a1^2+4*a1*d+3*d^2= a1^2+4*a1*d+4*d^2
3*d^2= 4*d^2
3*d^2- 4*d^2=0
(3-4)*d^2=0
d=0
因为d不为0，故不能删去第1项

删去第2项后为等比数列
有：
a1*( a1+3d)= (a1+2*d)^2
a1^2+3*a1*d= a1^2+4*a1*d+4*d^2
a1*d+4*d^2=0
(a1+4*d)*d=0
∵d≠0
∴a1+4*d=0
a1/d=-4

删去第3项后为等比数列
有：
a1*( a1+3d)= (a1+d)^2
a1^2+3*a1*d= a1^2+2*a1*d+d^2
a1*d= d^2
a1*d- d^2=0
(a1-d)*d=0
∵d≠0
∴a1-d=0
a1/d=1

删去第4项后为等比数列
有：
a1*( a1+2d)= (a1+d)^2
a1^2+2*a1*d= a1^2+2*a1*d+d^2
d^2=0
因为d不为0，故不能删去第4项

二n的可能值
n只能为4
当删去第2项后为等比数列
a1/d=-4
当删去第3项后为等比数列
a1/d=1
如果n大于4，当删去第2或3项后的第4项，将不成为等比数列的项。