Question

平面几何题~ 求助

三角形的三点位于 O(0,0) A(a,b) C(c,d)三点上
证明三角形的面积等于 S=|ad-bc|/2

谢谢

Answer 1

正六边形外接圆上任一点至六顶点的连结线，其中两长者的和必等于其余四者的和。
证明 下面先证明这个命题，然后给出这一命题的推广。
设正六边形ABCDEF，任意点P在劣弧AB上。命题就是要求证:
PD+PE=PF+PA+PB+PC
连BF，BD，DF。显然△BDF是正三角形，在圆内接四边形PBDF中，根据托勒密定理得:
BF*PD=PB*DF+PF*BD，
而BF=DF=BD，
所以 PD=PB+PF。(1)
同样方式可证:PE=PA+PC。 (2)
(1)+(2)得: PD+PE=PF+PA+PB+PC。证毕。
上述命题的推广
正3n边形外接圆上任一点至3n顶点的连结线，其中n长者的和必等于其余2n者的和。
证法与上述相同，这里略。

Answer 2

这是向量叉乘转化成行列式的形式
oa=√a^2+b^2
ob=√c^2+d^2
cos oab==|ac+bd|/ √ (a^2+b^2)√(c^2+d^2)
sinoab=√((a^2+b^2)(c^2+d^2)-|ac+bd|^2/ ) /√ (a^2+b^2)√(c^2+d^2)
=|ad-bc|/√ (a^2+b^2)√(c^2+d^2)
故S=|ad-bc|/2
总之算就行了

Answer 3

OA=√a^2+b^2
OB=√c^2+d^2
cos A==|ac+bd|/ √ (a^2+b^2)√(c^2+d^2)
sinA=√((a^2+b^2)(c^2+d^2)-|ac+bd|^2/ ) /√ (a^2+b^2)√(c^2+d^2)
=|ad-bc|/√ (a^2+b^2)√(c^2+d^2)
故S=|ad-bc|/2

Answer 4

过A和C向x轴作垂线，然后转化成一个三角形和一个梯形面积的和再减另一个三角形的面积，完全可以用简单式子表达出来，这里就不多写了。