Question

两道高中数学竞赛不等式题

1、设P为三角形ABC内一点,求证<PAB,<PBC,<PCA中至少有一个小于或等于30度
2、设实数a、b、c满足a^2+b^2+c^2=1,证明/a-b/,/b-c/,/c-a/中至少有一个不超过二分之根号二。（反正法证明）

Answer 1

第一题：并不困难的一道题，最容易的一个解法是建系解析，利用直线的斜率（正切）和向量求解即可。
第二题：多说一些吧：
第一步：不妨设a>b>c,a=b+m=c+m+n,m,n>0;
第二步：a^2+b^2+c^2=1变形为3c^2+2（2m+n）c+(2m^2+2mn+n^2-1)=0,是关于c的一元二次方程，判别式为S=-4（m^2+2mn+2n^2-3）；
第四步：假设/a-b/,/b-c/,/c-a/均大于二分之根号二，即有m，n大于二分之根号二，从而S>0,方程无解；
第五步：于是假设不成立，/a-b/,/b-c/,/c-a/中至少有一个不超过二分之根号二。证毕。
（我在攒积分，看在辛苦的份上，帮帮忙设为最佳答案吧，谢谢~)

Answer 2

解答：

令α=∠PAB，β=∠PBC，γ=∠PCA．于是，
P到AB的距离=PAsinα=PBsin（B-β），
P到BC的距离=PBsinβ=PCsin（C-γ），
P到CA的距离=PCsinγ＝PAsin（A-α）．
从而
sinα•sinβ•sinγ=sin（A-α）•sin（B-β）•sin（C-γ）
若α+β+γ≤90°，结论显然成立，若α+β+γ＞90°，则
（A-α）+（B-β）+（C-γ）≤90°
sinαsinβsinγ=sin（A-α）sin（B-β）sin（C-γ）

由此可知α，β，γ中存在一个，例如α满足

所以，或者a≤30°减者α≥150°．在后一情况必有β，γ都小于30°．

Answer 3

1证明：不妨设∠A，∠B，∠C都大于30°（因为如其中有一个角度不大于30°，结论已成立了），且满足∠C≥∠A，∠C≥∠B（如不满足，可轮换∠A，∠B，∠C使∠C为最大角之一，且轮换后不会影响结论的真假）。
这样的三角形如下图所示。其中：
∠EAB=∠FCA=30°，G为AE与CF的交点。
在直角坐标系下，若A为原点，AB为x轴方向，则△ABC各点的坐标如下：
A：（0，0），B：（b，0），C：（a，h），G：（xg，yg），其中
0＜a＜b，0＜h。
根据直线方程，不难求出G点的坐标值：
xg=√3(a^+h^)/4（a^表示a 的平方，h^表示h 的平方，下同）
yg= (a^+h^)/4
令α=∠GBC
则tg(α)=(k1-k2)/(1+k1k2)，其中
k1=(a^+h^)/[√3(a^+h^)-4ah]为GB的斜率
k2=h/(a-b) 为CB的斜率
令⊿=[√3(a^+h^)-4bh](a-b)+ (a^+h^)h
由k1＜0，k2＜0可推得0＜⊿
经计算化简得
tg(α)=(1/√3){1-[(a-b/2)^+(√3b/2-h)^](4h/⊿)}≤1/√3
得α≤30°，即∠GBC≤30°
如果P点在△GAB（红色三角形）中（包括边AG），由于∠GAB=30°得
∠PAB≤30°
如果P点在△GCA（蓝色三角形）中（包括边CG），由于∠GCA=30°得
∠PCA≤30°
如果P点在△GBC（红色三角形）中（包括边BG），由于∠GBC≤30°得
∠PBC≤30°
综合上述，设P为三角形ABC内一点，则∠PAB，∠PBC，∠PCA中至少有一个角小于或等于30°
2、在思考下···