两道高中数学竞赛不等式题

1、设P为三角形ABC内一点,求证<PAB,<PBC,<PCA中至少有一个小于或等于30度2、设实数a、b、c满足a^2+b^2+c^2=1,证明/a-b/,/b-c/,... 1、设P为三角形ABC内一点,求证<PAB,<PBC,<PCA中至少有一个小于或等于30度
2、设实数a、b、c满足a^2+b^2+c^2=1,证明/a-b/,/b-c/,/c-a/中至少有一个不超过二分之根号二。(反正法证明)
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clj_china001
2010-08-08 · 超过14用户采纳过TA的回答
知道答主
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第一题:并不困难的一道题,最容易的一个解法是建系解析,利用直线的斜率(正切)和向量求解即可。
第二题:多说一些吧:
第一步:不妨设a>b>c,a=b+m=c+m+n,m,n>0;
第二步:a^2+b^2+c^2=1变形为3c^2+2(2m+n)c+(2m^2+2mn+n^2-1)=0,是关于c的一元二次方程,判别式为S=-4(m^2+2mn+2n^2-3);
第四步:假设/a-b/,/b-c/,/c-a/均大于二分之根号二,即有m,n大于二分之根号二,从而S>0,方程无解;
第五步:于是假设不成立,/a-b/,/b-c/,/c-a/中至少有一个不超过二分之根号二。证毕。
(我在攒积分,看在辛苦的份上,帮帮忙设为最佳答案吧,谢谢~)
LANYIN94
2010-08-09 · TA获得超过368个赞
知道答主
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解答:

令α=∠PAB,β=∠PBC,γ=∠PCA.于是,
P到AB的距离=PAsinα=PBsin(B-β),
P到BC的距离=PBsinβ=PCsin(C-γ),
P到CA的距离=PCsinγ=PAsin(A-α).
从而
sinα•sinβ•sinγ=sin(A-α)•sin(B-β)•sin(C-γ)
若α+β+γ≤90°,结论显然成立,若α+β+γ>90°,则
(A-α)+(B-β)+(C-γ)≤90°
sinαsinβsinγ=sin(A-α)sin(B-β)sin(C-γ)

由此可知α,β,γ中存在一个,例如α满足

所以,或者a≤30°减者α≥150°.在后一情况必有β,γ都小于30°.
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1999abcd_zxcvb
2010-08-07 · TA获得超过1.1万个赞
知道小有建树答主
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1证明:不妨设∠A,∠B,∠C都大于30°(因为如其中有一个角度不大于30°,结论已成立了),且满足∠C≥∠A,∠C≥∠B(如不满足,可轮换∠A,∠B,∠C使∠C为最大角之一,且轮换后不会影响结论的真假)。
这样的三角形如下图所示。其中:
∠EAB=∠FCA=30°,G为AE与CF的交点。
在直角坐标系下,若A为原点,AB为x轴方向,则△ABC各点的坐标如下:
A:(0,0),B:(b,0),C:(a,h),G:(xg,yg),其中
0<a<b,0<h。
根据直线方程,不难求出G点的坐标值:
xg=√3(a^+h^)/4(a^表示a 的平方,h^表示h 的平方,下同)
yg= (a^+h^)/4
令α=∠GBC
则tg(α)=(k1-k2)/(1+k1k2),其中
k1=(a^+h^)/[√3(a^+h^)-4ah]为GB的斜率
k2=h/(a-b) 为CB的斜率
令⊿=[√3(a^+h^)-4bh](a-b)+ (a^+h^)h
由k1<0,k2<0可推得0<⊿
经计算化简得
tg(α)=(1/√3){1-[(a-b/2)^+(√3b/2-h)^](4h/⊿)}≤1/√3
得α≤30°,即∠GBC≤30°
如果P点在△GAB(红色三角形)中(包括边AG),由于∠GAB=30°得
∠PAB≤30°
如果P点在△GCA(蓝色三角形)中(包括边CG),由于∠GCA=30°得
∠PCA≤30°
如果P点在△GBC(红色三角形)中(包括边BG),由于∠GBC≤30°得
∠PBC≤30°
综合上述,设P为三角形ABC内一点,则∠PAB,∠PBC,∠PCA中至少有一个角小于或等于30°
2、在思考下···
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