Question

高一对数函数问题

已知函数f(x)=log2[x+1]，将y=f(x)的图像向左平移1个单位，再将图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，得函数y=g(x)的图像。(1)求y=g(x)的解析式及定义域(2)求函数F(x)=f(x)-g(x)的最大值

Answer 1

(1)g(x)=2log2(x+2) 定义域x＞-2
(2) F(x)=log2(x+1)-2log2(x+2)=log2(x+1)-log2(x+2)^2
=log2(x+1)/(x+2)^2=log2(x+1)/(x^2+4x+4)
=log2(x+1)/[(x+1)^2+2(x+1)+1]
=log2 1/[(x+1)+1/(x+1)+2]
≤log2 1/(2√(x+1)*1/(x+1)+2)
＝log2 1/(4)
=-2
所以最大是-2

或者：

已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图像向左平移1个单位，得y=log2（x+2）再将图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g(x)=2log2（x+2）的图象
1.y=g(x)的解析式为y=g(x)=2log2（x+2），定义域为x∈（-2，+∞)
2.F(x)=f(x-1)-g(x)=log2(x+1)+2log2(x+2)=log2(x+1)/(x+2)^2，
设t=(x+1)/(x+2)^2=1/[(x+1)+1/(x+1)+2],∵x>-1,x+1>0,
∴[(x+1)+1/(x+1)+2]≥2√1+2=4,∴t≤1/4,log(2)t≤log(2)[1/4]=-2
即F(x)≤-2,∴函数F(x)=f(x-1)-g(x)的最大值为-2