Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x

（1） 若f(2)=3 求f(1) 又若f(0)=a 求f(a)
（2） 设有且仅有一个实数x，使得f(x)=x 求f(x)

Answer 1

解：(一）因f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x.（x∈R).令x=2,并注意f(2)=3,可得f(1)=1.同理可知，f(a)=a.(二）可设这个唯一的数是m(m是已知常数）,使得f(m)=m.在题设等式中，令x=m,注意f(m)=m.则有f(2m-m²)=2m-m².由题设，满足f(x)=x的数仅有一个m,故2m-m²=m.===>m=0,或m=1.对比f[f(x)-x²+x]=f(x)-x²+x及f(x)=x,以及题设,可知f(x)-x²+x=m.===>f(x)=x²-x+m.因由题设知,关于x的方程f(x)=x仅一个实根，即方程x²-x+m=x仅一个实根。===>(x-1)²=1-m.易知，仅当m=1，方程f(x)=x有唯一实根。故m=1,此时f(x)=x²-x+1.

Answer 2

代入x=2
f(3-4+2)=3-4+2
f(1)=1
代入x=0
f(a-0+0)=a
f(a)=a

设这个数是t
f(f(t)-t^2+t)=f(t)-t^2+t
f(2t-t^2)=2t-t^2
必然要2t-t^2=t
t=t^2
当t=0
如果随着x变化，f(x)-x^2+x不恒等于0
则存在某个x0,使得x1=f(x0)-(x0)^2+x0≠0
且f(x1)=x1
这样存在x1≠0，f(x1)=x1,矛盾
故f(x)-x^2+x恒等于0
f(x)=x^2-x
经检验，f(x)=x根并不唯一，故舍掉
当t=1
类似讨论，得到f(x)-x^2+x恒等于1
f(x)=x^2-x+1
经检验，符合题意

看在打字这么辛苦的份上，该给个最佳吧！谢谢