Question

已知 sin(π-α)-cos(π+α)=√2/3 （π/2<α<π）

1. 求sinα-cosα

2.sin^2(2π-α)+cos^2(2π-α)

Answer 1

解：
sin（π-α）-cos（π+α）

=sinα+cosα

=√2/3

π/2<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα-cosα>0

（sinα+cosα）^2=1+2sinαcosα=2/9，sinαcosα=-7/18

1、sinα-cosα=根号下[（sinα+cosα）^2-4sinαcosα]=根号下(2/9+14/9)=4/3

2、sin^2（π-α）+cos^2（π-α）=sin^2α+(-cosα)^2=1

Answer 2

解：(1) 由题得：sinα+cosα=根号2/3
所以，(sinα+cosα)²=2/9
所以，sin²α+2sinα*cosα+cos²α=2/9
因为，sin²α+cos²α=1
所以，sinα*cosα=-7/18
又因为，(sinα-cosα)²=(sinα+cosα)²-4sinα*cosα=2/9+14/9=16/9
所以，sinα-cosα=4/3 或 sinα-cosα=-4/3
(2) sin^2(π/2-α)-cos^2(π/2+α)=cos²α-sin²α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-(sinα-cosα)(sinα+cosα)
1、当sinα-cosα=4/3时，sin^2(π/2-α)-cos^2(π/2+α)=-(4/3)*[(根号2)/3]=-4(根号2)/9
2、当sinα-cosα=-4/3时，sin^2(π/2-α)-cos^2(π/2+α)=(4/3)*[(根号2)/3]=4(根号2)/9
所以，sin^2(π/2-α)-cos^2(π/2+α)=-4(根号2)/9 或 4(根号2)/9