Question

已知x∈[0,π/2],求函数y=4√2sinxcosx+cos2x的值域

我在百度知道有找到答案，就是有一步没看懂
y=4√2sinxcosx+cos2x=2√2sin2x+cos2x
=3sin(2x+y)
这是怎么等过来的，我看的很纠结

Answer 1

令siny=1/3,cosy=2√2/3,tany=2√2

y=4√2sinxcosx+cos2x(倍角公式sin2x=2sinxcosx)
=2√2sin2x+cos2x
=3(2√2/3*sin2x+1/3cos2x)
=3(sin2xcosy+cos2xsiny)
=3sin(2x+y)

Answer 2

y=4√2sinxcosx+cos2x=2√2sin2x+cos2x
=3sin(2x+y)
其中 siny=1/3 cosy=1/ 2√2
y ∈(0,π/2)
因为x∈[0,π/2],所以2x+y∈(y,y+π)
(画个图表示一下2x+y的范围)
所以最大值为3,
最小值为-3sin(y+π)=-3siny=-1

Answer 3

有一个常用公式，

asinx+bcosx=√（a^2+b^2) sin(x+φ）

而φ=arctan（b/a）