Question

f(x)=x^3-1/2ax^2+3x+5(a>0且a≠6),求f(x)的单调区间

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Answer 1

解：对函数求导数，得
f'(x) = 3x^2 - ax + 3
令f'(x) = 0并解该方程：
判别式△=a²-36 又因a>0且a不等于6
当0<a<6时，判别式△<0 ,方程无解，又因为f'(x)开口向上，所以此时f'(x)恒大于0，则f(x)在整个定义域上为单调递增函数
当a>6时，判别式△>0,此时方程有解为x1 =（a-√(a²-36)）/6, x2 =（a+√（a²-36））/6 又因为f'(x)开口向上，所以f'(x)在（-∞，(a-√(a²-36))/6)∪((a+√(a²-36))/6,+∞)大于0，则在这个区间上f(x)为单调递增函数，而因为f'(x)在[（a-√（a²-36））/6,(a+（√（a²-36））/6]上是小于零的，所以，f(x)在这个区间上是单调递减函数

Answer 2

f'(x)=3x²-ax+3
△=a²-36
1,0<a<6时,△<0,f'(x)恒大于0，f(x)在R上单增
2,a>6时，△>0,f'(x)>0的解集为（-∞，(a-√(a²-36))/6)∪(a+√(a²-36))/6,+∞)
f(x)在该区间内单增，在其补集内单减

Answer 3

f'(x)=3x²-ax+3，
令f'(x)=0,判别式△=a²-4×3×3=a²-36
当a∈（0，6）时△<0,f'(x)>0,f(x)无极值，故f（x）在R上单调递增；
当a∈（6，+∞）时，△>0,f'(x)有两个零点（a±√（a²-36））/6
∴当x∈（-∞，（a-√（a²-36））/6]或[（a+√（a²-36））/6，+∞）时
f'(x)>0,f(x)的单调递增区间是在（-∞，（a-√（a²-36））/6]或[（a+√（a²-36））/6，+∞）上；
当x∈[（a-√（a²-36））/6）,（（a+√（a²-36））/6]时f'(x)＜0,f(x)的单调递减区间是在[（a-√（a²-36））/6）,（（a+√（a²-36））/6]。