Question

已知曲线C:y=x^2与直线l:x-y+2=0交于两点

已知曲线C:y=x^2与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA<xB，记曲线C在点A和点B之间那一段为L。设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合，若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程.

Answer 1

虽然你没画图，但我已经明白你的意思，请你对照图看下面的解答：

解答
联立曲线C方程与直线l方程
y=x^2 （1）
x-y+2=0 （2）
得出二者的交点A和B，因为xA<xB
所以xA=-1；xB=2
故A、B两点的坐标为A(-1,1),B(2,4)
线段AB的中点Q的坐标为（0.5,2.5）
点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合，设P点的坐标为x，则
P点坐标(xP,yP)满足方程（1）即
yP=xP^2 (3)
且 -1<xP<2 （4）

已知中点Q的坐标为（0.5,2.5）和P点坐标(xP,yP)，则中点M的坐标(xM,yM)
xM=（xP+0.5）/2 (5)
其中-0.25<xM<1.25
yM=（yP+2.5）/2 (6)

由（5）（6）式得
xP=2*xM-0.5 (7)
yP=2*yM-2.5 (8)
将（7）（8）式代入（3）整理得M点(xM,yM)的轨迹方程为
yM=2* (xM-0.25)^2+1.25 （-0.25<xM<1.25）

PS：该轨迹依然是一个二次抛物线y=2 * x^2，坐标平移到（0.25，1.25），定义域为（-0.25，，1.25）