Question

数学题三道

1。函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则
A。f(x)是偶函数
B。f(x)是奇函数
C。f(x)=f(x+2)
D。f(x+3)是奇函数

2。已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有x*f(x+1)=(1+x)*f(x)则f(5/2)的值是？

3。已知函数定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)
(1)求证：f(x)是周期函数
（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=(1/2)*x，求使f(x)=-1/2的所有x。

Answer 1

1. B. f(x) = f((x+1)-1) = -f(-(x+1)-1) = -f(-(x+1)+1) = -f(-x).

2. f(5/2) = 0.
如果 x = -1/2， 代入已知等式得 (-1/2)f(1/2)=(1/2)f(-1/2)。因为f(x)是偶函数，则f(1/2) = f(-1/2) = 0。于是 (1/2)f(3/2) = (3/2)f(1/2) = 0，即f(3/2) = 0。同理可知，f(5/2) = 0。

3.
(1) f(x+4) = f((x+2)+2) = -f(x+2) = f(x)。即f(x)为周期函数，且周期为4。

(2) 因为f(x)为奇函数，则当 -1≤x≤0 时，f(x) = (1/2)*x。
又因为 f(x+2) = -f(x)，则 当 1≤x≤2 时， f(x) = -(1/2)*(x-2);
当 -2≤x≤-1 时，f(x) = - (1/2)*(x+2)。
于是，当 -2≤x≤2 时， 只有 x = -1 时，f(x) = -1/2。

所以，当 x = -1 + 4n，n为整数时，使f(x)=-1/2。

Answer 2

1.B
解：f(x) = f((x+1)-1) = -f(-(x+1)-1)= -f(-(x+1)+1) = -f(-x).

2. f(5/2) = 0.
解：令x=0得， 0*f(1)=1*f(0), 即f(0)=0
再令x=-1/2得，(-1/2)*f(1/2)=(1/2)*f(-1/2) ,即f(1/2)=0
再令x=1/2得，(1/2)*f(3/2)=(3/2)*f(1/2) ,即f(3/2)=0
再令x=3/2得，(3/2)*f(5/2)=(5/2)*f(3/2) ,即f(5/2)=0
所以，f(f(5/2))=f(0)=0

3.
(1) f(x+4) = f((x+2)+2) = -f(x+2) = f(x)。所以f(x)为周期函数 T=4

(2) 因为f(x)为奇函数，则当 -1≤x≤0 时，f(x) = (1/2)*x。
又因为 f(x+2) = -f(x)，则 当 1≤x≤2 时， f(x) = -(1/2)*(x-2);
当 -2≤x≤-1 时，f(x) = - (1/2)*(x+2)。
于是，当 -2≤x≤2 时， 只有 x = -1 时，f(x) = -1/2。

所以，当 x = -1 + 4n，n为整数时，使f(x)=-1/2。

Answer 3

太久不看数学了，看了头晕眼花啊。

Answer 4

然后呢。

Answer 5

1.C