Question

给做个高一数学题

设函数f(x)的定义域为（0，+∞），且对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立。已知f(2)=1,且x>1时，f(x)>0.
1.求f(1/2)的值；2.判断y=f(x)在（0，+∞）上单调性、、

给个具体过程，谢谢啦！

Answer 1

（1）令x=1，y=2,根据f(xy)=f(x)+f(y)有：f(1*2)=f(2)=f(1)+f(2),所以f(1)=0;再令x=1/2,y=2,根据f(xy)=f(x)+f(y)有：f(2*1/2)=f(1)=f(2)+f(1/2),因为f(2)=1，f(1)=0，所以f(1/2)=-1；
（2）（其实我们根据他题目的要求能够猜出这个函数是一个以2为底x的对数的对数函数：f(x)=log2 x，所以）在（0，+∞）上肯定是单调递增的)具体怎么证，没想出来。。。

Answer 2

1.对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,
令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0;
令y=1/x (x>0),则f(1)=f(x)+f(1/x),f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
故f(1/2)=-f(2)=-1.

2.设0<x1<x2,则x2/x1>1,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)>0
所以函数y=f(x)在（0，+∞）上单调递增.

Answer 3

令x=y=1，f(1)=2*f(1),所以f(1)=0.
又f(1)=f(2)+f(1/2),f(2)=1,所以f(1/2)=-1.
当y=f(x)在（0，+∞)时，f(x+Δx)=f(x)+f((x+Δx)/x),
因为(x+Δx)/x>1,所以f((x+Δx)/x)>0,
所以f(x+Δx)>f(x)所以当y=f(x)在（0，+∞)单调递增

Answer 4

（1）
因为，f(xy)=f(x)+f(y)
所以，f(2*1)=f(2)+f(1)
f(2)=1
1=1+f(1)
f(1)=0
f(2*1/2)=f(2)+f(1/2)
0=1+f(1/2)
f(1/2)=-1
(2 )
设x1>x2 ∝(0,∞)
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1*x2/x1)
=f(x1)-f(x1)-f(x2/x1)
=-f(x2/x1)<0
所以，此函数为减函数。

Answer 5

1. f(1*2)=f(1)+f(2)
1=f(1)+1
所以f(1)=0
f(1/2*2)=f(1/2)+f(2)
0=f(1/2)+1
所以f(1/2)=-1