Question

高一 数学 高中数学问题 请详细解答,谢谢! (8 7:53:40)

已知实数列｛An｝是等比数列，其中A7=1，且A4，A5+1,A6成等差数列
（1）求数列｛An｝的通项公式
（2）数列｛An｝的前n项和记为Sn，证明Sn<128(n=1,2,3......)

Answer 1

第一问
因为 A4，A5+1,A6成等差数列
所以 A4+A6=2*(A5+1)

因为 实数列｛An｝是等比数列
所以 A5=A4*q=A6/q=A7/q^2=1/q^2
A4=A5/q=1/q^3 A6=A5*q=1/q

可得方程
1/q^3+1/q=2*(1/q^2+1)

解得q=1/2 A5=4
An=A5*（1/2）^(n-6)
=4*(1/2)^(n-6)
=2^(7-n)

第二问
A1=2^(7-1)=64
Sn=A1*(1-q^n)/(1-q)
=64*(1-1/2^n)/(1/2)
=128-2^(7-n)
因为2^(7-n)大于0
所以128-2^(7-n)小于128

Answer 2

因为 A4，A5+1,A6成等差数列
所以 A4+A6=2*(A5+1)

因为 实数列｛An｝是等比数列
所以 A5=A4*q=A6/q=A7/q^2=1/q^2
A4=A5/q=1/q^3 A6=A5*q=1/q

可得方程
1/q^3+1/q=2*(1/q^2+1)

解得q=1/2 A5=4

Answer 3

解:因为
（1）
a7=aq^6=1
aq^4=1/q^2
aq^3=1/q^3
aq^5=1/q
a4,a5+1,a6成等差数列
2(a*q^4+1)=a*q^3+a*q^5
2a*q^4+2=a*q^3+a*q^5
2/q^2+2=1/q^3+1/q
2q+2q^3=1+q^2
q^2(2q-1)+(2q-1)=0
(q^2+1)(2q-1)=0
因为q^2+1不等于0
所以2q-1=0
q=1/2
aq^6=1
a=1/q^6=2^6=64
所以通项an=64*(1/2)^(n-1)

（2）
因为
Sn=64*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)
=128*[1-(1/2)^n]
又因为n>0,所以(1/2)^n<1
所以0<[1-(1/2)^n]<1
所以Sn=128*[1-(1/2)^n]<128

好苦啊1！

Answer 4

A4+A6=2（A5+1）=2（A5+A7） 同时除以A4得1+q2=2（q+q3）=2q（1+q2）
所以2q=1，所以q=1/2,所以A1=2^6所以An=2^7-n
所以Sn=A1（1-q^n)/(1-q)=2^7-2^(7-n)<2^7=128