Question

高中数学 超难的！

证明函数f（x）=x³+x在R上是增函数。
用定义法证明能证出是增函数，而把原式改成f（x）=x（x²+1）怎么证明呢？f（x）=x是增函数，f（x）=x²+1有两个单调区间，乘起来不还是有2个区间么？
为什么？我错在哪儿？

Answer 1

其实吧，函数y=x²+1>=1>0，也就是说，它的函数值是一个正数；
而函数y=x是增函数；
所以，一个正数乘一个递增的函数，那个函数还是递增的
另外，你可以用导数的方法，对f（x）=x³+x求导，得到f'（x）=3x²+1>0，所以这个函数是增函数

Answer 2

不能这么考虑
如：
f(x)=x 增
f（x）=2x 增
f（x）=2xx （。。。）

Answer 3

不是这样的！
随着X的增加f(x)也在增加
虽然f（x）=x²+1有两个区间，但x也在增加，所以f（x）=x²+1还是增加的！！

Answer 4

你的方法不行吧，要么用定义，要么用导数求，一般就用定义求就可以了

Answer 5

用导数证明
f（x）=x（x²+1）
f’(x）=1×（x²+1）＋x(2x)=3x²+1＞0
∵f’(x）＞0
∴f(x)在实数范围内单调递增

Answer 6

用定义法也是可以做出来的。

f(x)=x(x^2+1)=x^3+x
取任意X1,X2∈R，且X1＜X2
f(X1)-f(X2)=X1^3-X2^3+X1-X2
∵y=X^3在R上是增函数
∴X1^3-X2^3＜0
∵X1＜X2
∴X1-X1＜0
∴f(X1)-f(X2)＜0
即f(X1)＜f(X2)
∴f(X)在R上为增函数

应该就是这样证明的吧。