Question

4、如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别

4、如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别

从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），

当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，

可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的

时间为x秒。试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

Answer 1

25. 解：（1）∵ 过 三边的中点作 PQW
∴ PQ‖FN
∴ ∽ QWP
(2) 当0≤x≤4时，DM=NB=x，MA=4-x，AN=6-x
MF2=4+x2
NF2=(4-x)2+4=x2-8x+32
MN2=(4-x)2+（6-x）2=2x2-20x+52
由（1）得 ∽ QWP
① 若 ∠PQW=∠QWP=900
MN2 = MF2+ NF2
化简得 12x =16
∴ x=
② 若 ∠PQW=∠FMN=900
NF2 =MN2 +MF2
即 x2-6x+12=0
此方程无解
③若 ∠PQW=∠MNF=900
MF2 = NF2 +MN2
即 x-14x+40=0
∴ x=4或x=10（舍去）
综上所述，设0≤x≤4，当x= 或x=4时， PQW为直角三角形？
当0≤x≤4，当x≠ 且x≠4时， PQW不为直角三角形
（3） 由题意得， AM=4-x ，AN=6-x
MN2=AM2+AN2 =(4-x)2+（6-x）2=2x2-20x+80=2（x-5）2+30
所以. 当x=5时，MN最短，MN = 根号30

Answer 2

解：（1）根据三角形中位线定理得 PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF．
同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由于△FMN∽△QWP，故当△FMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形．
作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，
①当MF⊥FN时，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x=4 3 ；
②当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，
∴x=AD=GB=4．
∴当x=4或4 3 时，△QWP为直角三角形，当0≤x＜4 3 ，4 3 ＜x＜4时，△QWP不为直角三角形．

（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2； ②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x-4）2+（6-x）2
=2（x-5）2+2
当x=5时，MN2=2，故MN取得最小值 2 ，
∴当x=5时，线段MN最短，MN= 2 ．