Question

高二数学三角函数的题

函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,φ>0,│φ│<π/2)的最高点坐标为(π/12,3)，与之想林的一个最低点的坐标为(7π/12,-1)。
（1）求f(x)的表达式
（2）求f(x)在x=π/6处的切线方程。

Answer 1

解：（1）应该是f(x)=Asin(wx+φ)＋K吧
f(x)=Asin(wx+φ)＋K(A>0,w>0,φ>0,│φ│<π/2)的最高点坐标为(π/12,3)，与之想林的一个最低点的坐标为(7π/12,-1)
T=2π//w/=（7π/12－π/12）×2=π
∵w>0∴w=2
∵A>0∴2A=4.A=2
∵最高点坐标为(π/12,3)∴K=1
∵│φ│<π/2,3=2sin(2×π/12+φ)＋1
∴φ=π/3
∴f(x)=2sin（2x＋π/3）＋1
（2）∵f′（x）=4cos（2x＋π/3）
f′（π/6）=4cos2π/3=-2
∵f(π/6)=2sin（2π/3）＋1
=√3＋1
∴切线方程y-（√3＋1）=－2×（x-π/6）
∴2x＋y-π/3-√3-1=0

Answer 2

（1）最高点坐标为(π/12,3），所以A=3
又因为 最高点横坐标π/12，相邻最低点横坐标为7π/12
所以，最小正周期T=2*[(7π/12)-(π/12)]=π=2π/W
则，W=2,故 f(x)=3sin(2x+φ)
又因为，f(π/12)=3,则 3sin[(π/6)+φ]=3
即，sin[(π/6)+φ]=1=sin(π/2)
则有，(π/6)+φ=π/2,解得，φ=π/3
所以，f(x)=3sin[2x+(π/3)]

(2)由（1）得 f(x)=3sin[2x+(π/3)]，f(π/6)=(3√3)/2
则切点坐标为（π/6，3√2/2)
又因为 f(x)的导函数是，
f’(x)=3cos[2x+(π/3)]*[2x+(π/3)]'=6cos[2x+(π/3)]
所以切线斜率是，f’(π/6)=-3
所以,切线方程是 y-3√2/2=-3(x-π/6)

疑问：既然f(x)=Asin(wx+φ)的最大值是3，那为什么最小值不是-3，你题目中最低点的纵坐标是-1，这是我的疑问。

Answer 3

最高点坐标为(π/12,3)，与之想林的一个最低点的坐标为(7π/12,-1)。从这句可以知道半周期为7π/12-π/12=π/2.所以w=2；还可以知道，A=2，
所以我觉得你题目应该还少一个参数，应为函数肯定在y方向有平移。。。

Answer 4

(1)由最高点坐标为(π/12,3)，与之相邻的一个最低点的坐标为(7π/12,-3),可知
T/2=7π/12-π/12=π/2
T=π
所以w=2π/T=2
由最高点坐标，可知
A=3
2*π/12+φ=π/2+2kπ
φ=π/3+2kπ k为整数
又φ>0,│φ│<π/2
所以φ=π/3
所以f(x)=3sin(2x+π/3)

(2)f'(x)=6cos(2x+π/3)
f'(π/6)=-3
f(π/6)=(√3)/2
设切线方程为y=-3x+b
b=3x+y=3*π/6+(√3)/2

所以切线方程为
y=-3x+3*π/6+(√3)/2

Answer 5

f（x）=Asin（wx+φ)+B，（如果没有B的话，最大值的数字应该与最小值的数字相等的）

解：f（π/12）max=A+B=3
f（7π/12）min=-A+B=-1，

从而得A=2，B=1

因为7π/12-π/12=π/2，所以周期是π，所以w=2π/π=2
因为│φ│<π/2
2*π/12+φ=π/2，得φ=π/3

所以f（x）=2sin（2x+π/3）+1

2）、x=π/6时，f（π/6）=√3+1
f’（x）=4cos（2x+π/3）

则f’（π/6）=-2

所以切线方程就是y-（√3+1）=-2（x-π/6）
即y=-2（x-π/6）+√3+1