Question

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q是对角线A1C上的点，若PQ=a/2，则三棱锥P-BDQ的体积为

Answer 1

A1C=√3a,PQ=a/2,

PQ=√3/6A1C,

BC⊥平面ABB1A1，A1B∈平面ABB1A1，

BC⊥A1B，A1B=√2a,

S△A1BC=√2a^2/2,

S△PQB=S△A1BC*(√3/6)=√6a^2/12,

V三棱锥A1-BDC=S△BDC*AA1/3=(a^2/2)*a/3=a^3/6,

设D至平面A1BC距离为h,

V三棱锥D-A1BC=S△A1BC*h/3=(√2a^2/2)h/3=√2ha^2/6,

V三棱锥A1-BDC=V三棱锥D-A1BC,

a^3/6=√2ha^2/6,

h=√2a/2,

∴VP-BDQ=S△BPQ*h/3

=(√6a^2/12)*(√2a/2)/3

=√3a^3/36.