Question

数列数学题一道

a(1)=b(1)=1,a2=3,且S(n+1)+S(n-1)=2(S(n)+1),其中S（n）是数列a（n）的前n项和，b(1)+2b(2)+…2的n-2次方乘以b(n-1)+2的n-1次方乘以b(n)=a(n)
1）求a(n),b(n)的通项公式
2）求数列《a(n)乘以b(n）》的前n项和。

Answer 1

（1） 由S（n+1)+S(n-1)=2(S(n)+1)得
S(n+1)-S(n)=S(n)-S(n-1)+2 (n>=2)
a(n+1)=a(n)+2
又a2-a1=2
所以该数列为等差数列
d=2 a1=1 an=a1+(n-1)d an=1+(n-1)*2 an=2n-1
再算b(n)
b(1)+2b(2)+…2的n-2次方乘以b(n-1)+2的n-1次方乘以b(n)+2的n次方乘以b(n+1)=a(n+1) …… ②

b(1)+2b(2)+…2的n-2次方乘以b(n-1)+2的n-1次方乘以b(n)=a(n) ……①

②-①

2^n * b(n+1)=a(n+1)-a(n)=2
b(n+1)=2/2^n=(1/2)^(n-1)
b(n)=(1/2)^(n-2)

然后是第二问吧

设 a(n)*b(n)=c(n)
c(n)=(2n-1)*[(1/2)^(n-2)]
T(n)是它的前N项和
T(n)=1*[(1/2)^(-1)]+3*[(1/2)^(0)]+……+(2n-1)*[(1/2)^(n-2)] ③
这种题算到这里就可以看出事乘以公比 再错项相减
乘以公比1/2
(1/2)T(n)=1*[(1/2)^(0)]+3*[(1/2)^(-1)]+……+（2n-1)*[(1/2)^(n-1)] ④
错开项相减 ③第2项-④第1项 ③第3项-④第2项
③-④
T(n)-(1/2)T(n)=1*[(1/2)^(-1)]+2*[(1/2)^(0)]+2*[(1/2)^(1)]+……+2**[(1/2)^(n-2)]-(2n-1)*[(1/2)^(n-1)]
从第二项到第n-1项可以用等比数列前 n项和
1/2T(n)=1*[(1/2)^(-1)]-(2n-1)*[(1/2)^(n-1)]+ a1(1-q^n)(/1-q)
a1=2*[(1/2)^(0)]=2 q=1/2 n=n-1
1/2T(n)=1*[(1/2)^(-1)]-(2n-1)*[(1/2)^(n-1)]+ 2[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
最后化简得T(n)=12-(2n-5)*(1/2)^(n-2)
不知道有没有算对
O(∩_∩)O~

Answer 2

a(n)=2n-1
,b(n)=二分之一的n-2次方 当n大于等于2时
b(1)=1

a(n)乘以b(n)的和