Question

不等式证明

对于任意n属于正整数，x1,x2,x3,…xn均为非负实数,且x1+x2+x3…+xn≤1／2,证明(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1／2成立。

Answer 1

先证引理 (1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1-（x1+x2+x3…+xn）
若证的这个 命题显然
用数归整 n=1时 x1《1/2 1-x1》1/2成立
若k=n时成立 即任意非负实数x1,x2,x3,…xn x1+x2+x3…+xn≤1／2
(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1／2均成立
(1－x1)(1－x2)…(1－xn+1)=(1－x1)(1－x2)…(1－x（n+1）-xn+xn+1xn)
把x（n+1）+xn-x（n+1）xn看成一个数 显然为非负
x1+x2+x3…+xn+1≤1／2 x1+x2+x3…+xn+1-x（n+1）xn《1/2
满足归纳条件 故
(1－x1)(1－x2)…(1－x（n+1）-xn+xn+1xn)》1-（x1+x2+x3…+xn+1）+x（n+1）xn》1-（x1+x2+x3…+xn+1）
故命题对n+1成立 故对所有n成立