Question

高三数学题

已知椭圆方程x^2+2y^2=2,直线l与椭圆交于M、N两点，B的坐标为（0，1）

问：椭圆右焦点F是否可以是三角形BMN的垂心？若可以，求出l的方程，若不可以请说明理由

Answer 1

解题思路：利用垂心的的特征来解题，即垂线与边垂直，也即垂线直线的斜率与边直线的斜率之积为-1。由于垂心坐标和三角形其中一点B的坐标已知，很容易设定MN的方程式，再联解直线与椭圆方程式得出两个交点M、N的坐标，最后再利用垂线与边垂直的特征来求出MN的方程式。

解：椭圆右焦点为F(1,0），FB直线方程为y=-x+1，若F为三角形BMN的垂心，则MN⊥FB，因此可以设MN直线方程为y=x+b。将y=x+b代入椭圆方程式，得：
x^2+2x^2+4bx+2b^2-2=0
3x^2+4bx+2b^2-2=0
解得：x1=(-2b+√6-2b^2)/3,y1=(b+√6-2b^2)/3，为M点坐标
x2=(-2b-√6-2b^2)/3,y2=(b-√6-2b^2)/3，为N点坐标

直线BM的斜率Kbm=[1-(b+√6-2b^2)/3]/[0-(-2b+√6-2b^2)/3]=[3-b-√6-2b^2]/[2b-√6-2b^2]
直线FN的斜率Kfn=[0-(b-√6-2b^2)/3]/[1-(-2b-√6-2b^2)/3]=[-b+√6-2b^2]/[3+2b+√6-2b^2]
Kbm*Kfn=-1
[3-b-√6-2b^2]*[-b+√6-2b^2]=-[2b-√6-2b^2]*[3+2b+√6-2b^2]
3(-b+√6-2b^2)+3b^2-6+3[2b-√6-2b^2]+[6b^2-6]=0
9b^2+3b-12=0
3b^2+b-4=0
b=-4/3,b=1（舍去）
故，F可以是三形BMN的垂心，直线l的方程为y=x-4/3

Answer 2

（我明明才高考完，这个东西就又不会了。。。）
我知道的一些步骤如下：
假设成立
B（0，1）F（1，0）BF的方程就出来了，接着和BF垂直的线方程也可以设为Y＝X＋A
直线方程和椭圆方程连列，用X表示Y，得3X平方＋4AX＋2A平方＝2，
维达定理，X1＋X2＝－2／3A，X1＊X2＝2／3A平方
（上面的肯定是对的，下面可能，我也不清楚）
X1，X2中点－1／3A，此点在Y＝x＋A上，所以Y’＝2／3A，且此点在BF商，所以X’＋Y‘＝1，A＝3
y＝x＋3
（不保证对）