Question

一道初一数学题、急！快，有追加！

如图，已知：自Rt△ABC的直角顶点A作BC上的高AD。求证：AD+BC＞AB+AC。
（急啊！快~~~~~~~~~~~）

Answer 1

支持4楼，如果没学过反证法，可以用以下方法证明：

由勾股定理，得AB²+ AC²= BC²

两边同时加上2AB*AC

(AB+AC)²= BC²+2AB*AC

由于Rt△ABC中，S=1/2*AD*BC=1/2*AB*AC

(AB+AC)²= BC²+2AD*BC，

由于BC²+2AD*BC<BC²+2AD*BC+AD²
即BC²+2AD*BC<(AD+BC)²

得(AB+AC)²< (AD+BC)²，变长都为正数
两边同时开方，AD+BC＞AB+AC

Answer 2

求证：AD+BC>AB+AC。
可做等价变形（AD+BC）2> (AB+AC) 2
即 AD2+BC2+2*AD*BC>AB2+AC2+2*AB*AC
又有 AB2 + AC2 =BC2

所以上式变为：AD2 +2*AD*BC> 2*AB*AC
又有S△ ABC=1/2* AD*BC= 1/2* AB*AC
所以上式变为： AD2 > 0 即可

显然，AD2 > 0 成立

所以得证

Answer 3

由三角形性质可知 AD+BD>AB AD+CD>AC
两式相加得AD+BD+AD+CD>AC+AB
因为BC=BD+CD
所以AD+BC>AC+AB

Answer 4

Rt△ABC中，S=1/2*AD*BC=1/2*AB*AC
所以AD*BC=AB*AC
又BC＞AB+AC
所以AD+BC＞AB+AC
这个跟4*9=3*12，所以3+12>4+9的道理是一样的

Answer 5

两边之和小于第三边
AD+BC=AD+BD+CD
分别放在ADB和ADC两个三角形里。