Question

解个高一数学题

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)*f(b).

求证对于任意的x∈R，恒有f(x)>0

Answer 1

f(0+0)=f(0)*f(0) f(0)≠0 f(0)=1>0

x>0 f(x)>1>0

x<0 -x>0 f(-x)>0

f(x-x)=f(x)*(-x)=f(0)=1

f(x)=1/f(-x)>0

综上,对于任意的x∈R，恒有f(x)>0

Answer 2

因为 对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)*f(b)
所以 a=0，b=0时 有f（0）=f(0)*f(0) f(0)≠0 f(0)=1
对于任意的x小于0，-x>0
f(x+(-x))=f(x)*f(-x)
f(0)=f(x)*f(-x)
1=f(x)*f(-x)
所以f(-x)=1/f(x)>0

综上 对于任意的x∈R，恒有f(x)>0

Answer 3

x=0 时 f(0)=f(0)*f(0) 因为f(0)不等于1 所以 f(0)=1
x>0 f(x)>1 题中给出了
x<0 f(a-a)=f(a)*f(-a)=f(0)=1
设a>0 f(-a)=1/f(a) 是正数
设a<0 同上

所以 对于任意的x∈R，恒有f(x)>0