Question

4、在三角形ABC中，OC向量=1/4OA向

4、在三角形ABC中，OC向量=1/4OA向量，OD向量=1/2OB向量，AD与BC交于M点，设OA向量=a向量，OB向量=b向量
（1） 用a向量、b向量表示OM向量
（2） 在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE向量=pOA向量，OF向量=qOB向量，求证：1/7p+3/7q=1

Answer 1

向量两字略去，直接用字母表示向量。
（1）、AB=A0+OB=-a+b；
AD=AO+OD=-a+(1/2)b ① ;
BC=0C+BO=(1/4)a-b ②
由①和②得a=-(8/7)AD-(4/7)BC,
b=-(2/7)AD-(8/7)BC;
AB=-a+b=(8/7)AD+(4/7)BC-(2/7)AD-(8/7)BC
=(6/7)AD-(4/7)BC
由于AD与BC交于M点，则AM=(6/7)AD，BM=(4/7)BC；
所以OM=OA+AM=a+(6/7)[-a+(1/2)b]=(1/7)a+(3/7)b

（2）、OE=pOA=pa,OF=qOB=qb,
EF=OF-OE=qb-pa, EM=OM-OE=(1/7)a+(3/7)b-pa=(1/7-p)a+(3/7)b
EFM三点共线,向量a,b不共线,
所以EF‖EM,则p*(3/7)=(-q)*(1/7-p),
即(1/7)*q+(3/7)*p=p*q
所以 1/(7p)+3/(7q)=1 .

Answer 2

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