Question

已知函数y=根号mx²-6mx+m+8的定义域为R。求实数m的取值范围

为什么 ①m≠0时，有 m>0 且判别式小于等于0

Answer 1

y=√[mx²-6mx+m+8] 定义域是R
也就是 W=mx²-6mx+m+8 在R上都是大于等于0的
1，当 m=0时，可以，因为这时，W=8,
2，当 m不等于0时，
这时，是二次函数，需要函数图像开口向上，且与x轴的交点个数不能超过1

即 m>0
△=36m²-4m(m+8)=32m²-32m=32m(m-1)≤0
得 0≤m≤1

综上 0≤m≤1

画二次函数图象啊，这个二次函数的图像必须都在x轴的上方才可以啊
所以只能是二次函数的二次系数大于0，且不能与x轴相交，因为那样，函数的图像就不是全部都在x轴的上方了，总会有一小部分在x轴的下方，最少只有相切才能保证这个，所以就是判别式小于等于0了

Answer 2

根号下的式子>=0函数才有意义，因为定义域是R，
所以，h=mx²-6mx+m+8>=0恒成立
当m=0时，h=8,成立
当m≠0时，若m>0，函数h开口向上，若要使h>=0恒成立，则判别式小于等于0
（判别式小于0，与x轴无交点，恒>0；判别式=0，仅有一个交点
h>=0；判别式大于0，与x轴有两个交点，函数h的值在两交点之间
小于0）；
若m<0, 函数h开口向下，必有x，使得 h<0 ，不满足定义域为R.