Question

问一道高一数学题、

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已知函数f(x)对任意的实数x，y，都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y)，且f(1)=1。求f(x)的解析式。

请写出过程，再帮我讲讲这类题应该从哪入手，如何快速解题。谢谢！

Answer 1

解：令x=1代入等式得
f(1+y)=f(1)+2y(1+y)，在令1+y=t代入等式得f（t）=1+2（t-1）t=2t^2-2t+1故f（x）=2x^2-2x+1
（f（x）的表达式与其自变量的符号无关）
注：遇到此类问题要善于利用已知条件f(1)=1，令其中的一个变量为1，到底要令那个变量要看具体的题目，多做几道就有经验了。

Answer 2

f(x+y)=f(x)+2y(x+y)
f(1)=1
则有
x+y=1时有
f(x+y)=f(x)+2y
即f(x)+2y=1
则f(x)=-2y+1
我擦- -我居然作错了......
惭愧了......

Answer 3

解：因f(x+y)=f(x)+2y(x+y).(x,y∈R).(1)令y=1,则有f(x+1)=f(x)+2(x+1).(x∈R).(2)再令x=1,y=x.则f(x+1)=f(1)+2x(x+1)=1+2x(x+1).【注：（1）令y=x，即是将式子中的字母y换成x.（2）f(1)=1.】结合上述可知，f(x)+2(x+1)=1+2x(x+1)=f(x+1).===>f(x)=2x²-1.

Answer 4

把X=1,Y=1带入即可，f(2)=f(1)+2*2,得f(2)=5,再把X=1,y=-1带入，X=-1,Y=1带入，得f(0)=f(-1)=f(1),所以方程是偶函数，···