Question

知tan(A-B)/tanA+sin^2C/sin^2A=1求证tanAtanB=tan^2C

快…拜托！

Answer 1

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)

tan(A-B)/tanA+sin²C/sin²A=1

左右移项，得
1-[(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)]/tanA=sin²C/sin²A

化简，得
(tan²A*tanB+tanB)/tanA(1+tanA*tanB)=sin²C/sin²A
tanB*(sec²A)/tanA(1+tanA*tanB)=sin²C/sin²A

交叉相乘，得
tanB*tan²A=tanA(1+tanA*tanB)*sin²C

两边除以tanA
tanB*tanA=(1+tanA*tanB)*sin²C

左边做一个+1 -1动作，得
tanB*tanA+1-1=(1+tanA*tanB)*sin²C
1-1/(1+tanA*tanB) = sin²C

移项，得 1-sin²C=1/(1+tanA*tanB)

由于1-sin²C=cos²C cos²C=1/sec²C
得 1/sec²C=1/(1+tanA*tanB)
sec²C=1+tanA*tanB
sec²C-1=tanA*tanB

因为sec²C-1=tan²C
得 tanA*tanB=tan²C

证毕！！！