Question

三角函数证明题

在三角形ABC中 角A所对的边BC的边长为a 旁切圆O的半径为R 且切BC及AB, AC的延长线于D,F,F 求证R≤a*（1+sinA/2）/ （2cosA/2）

Answer 1

现对（1+sinA/2）/ （2cosA/2）化简

令tanA/4=t

则由万能公式：
（1+sinA/2）/ （2cosA/2）
=[1+2t/（1+t^2)]/[(1-t^2)/(2+t^2]
=(1+t)^2/(2-2t^2)
=(1+t)/(2-2t)
=2*{（tanπ/4+t)/(1-tanπ/4*t)
=2*tan(π/4+A/2）=1/2*cot(π/2-A/2）

故原不等式即证明：a/R>=2*tan(π/2-A/2）

连接：BO,CO,DO

则有DO⊥BC DO=R
令∠BOD=α ∠COD=β
αβ均为锐角
由于BO平分∠EOD
CO平分∠FOD
OE⊥EA
OF⊥FA
故有α+β=（π-A）/2

同时a=BD+DC=Rtanα+Rtanβ=R（tanα+tanβ）

故a/R=tanα+tanβ

现证明：2tan【（α+β）/2】<=tanα+tanβ
看这里吧：http://zhidao.baidu.com/question/61537776.html?si=1

故a/R=tanα+tanβ>=2tan【(α+β）/2】=2tan(π/2-A/2）

原命题得证

我已经最大程度的写得详细了，还有不懂得话问我咯

以上

Answer 2

连OD,OE,OF,易知OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,
∴R(b+c-a)=2S△ABC=absinC,
∴R=absinC/(b+c-a)
≤a*（1+sinA/2）/ （2cosA/2）①
设s=(a+b+c)/2,△ABC的内切圆I切BC于G,半径为r,作AH⊥BC于H,则tanA/2=r/(s-a),
bsinC=AH,(s-a)/[cosA/2]=AI,①式
<==>bsinC<=(s-a){1/[cosA/2]+tanA/2}
=(s-a)/[cosA/2]+r
<==>AH<=AI+IG,
上式显然成立，所以①式成立。