Question

已知实数a满足0<a<2直线l1:ax-2y-2a+4=0和l2:2x+a^2y-2a^2-4=0与两坐标轴围成一个四边形

（1）求证：无论是实数a如何变化，直线l2必过定点
（2）画出两条直线在平面坐标系上的大致位置
（3）求实数a取何值时，所围成的四边形面积最小

Answer 1

1、a^2(y-2)+(2x-4)=0

当x=y=2时上式恒成立，即l2过定点（2,2)

2、

3、把(2,2)点代入l1的方程，发现也成立，即，两直线交于(2,2)点。

l1与x轴交于（2-4/a,0),与y轴交于（0,2-a)

l2与x轴交于（a^2+2,0),与y轴交于（0,2-4/a^2)

S=PAB的面积-OBC的面积

PAB的面积=2-4/a^2

OBC的面积=（a-2）(1-2/a)=a-4+4/a

S=2-4/a^2-a+4-4/a

剩下的就是求函数的最值了。可以求导求。