Question

急！观察下列各式：1/（1X2）=1-1/2，1/（2X3）=1/2-1/3，1/(3X4)=1/3-1/4.....1/ n(n+1)=1/n-1/ n+1.

将以上n个等式相加得到：1/(1X2)+1/(2X3)+1/(3X4)+...+1/ n(n+1)=1-1/(n+1).用上述方法计算1/(1X3)+1/(3X5)+1/(5X7)+...+1/(99X101)，其结果为___. （在答案书上的答案是这样的：1/(1X3)=1/2X(1-1/3)，1/(3X5)=1/2X(1/3-1/5)... 请问一下 1/(1X3)=1/2X(1-1/3)，1/(3X5)=1/2X(1/3-1/5）中的1/2怎样的来的？请解释一下!)

Answer 1

这个是裂项法...在数列的解题中经常被应用...那个1/2是被凑出来的！裂项的原则就是把分母拆开，使得乘法变成减法，然后消去多余的项。我们来具体分析一下：1/(1X3)这个式子，我们观察到和1与1/3有关，为了裂项配凑，我们先写1-1/3，结果发现是2/3，比1/(1X3)扩大了2倍，为了保持分式值的不变，于是我们在前面乘上1/2。这只是一个例子，你可以试试，后面的每一项都是这样的！！！如果你还是不理解，那么我们可以举一个通用里例子：1/ n(n+2)，这个式子与1/n和1/ (n+2)有关，那么，我们先写1/n-1/ (n+2)，通分化简，这个过程我就省略了，最后的结果2/n(n+2)，你看，比原式正好扩大了2倍，为了保持值不变，我们就乘以1/2。这么讲能行吗？？？希望你能明白...(*^__^*) 嘻嘻...