Question

已知椭圆与X轴相切，左右两个焦点是F1（1.1）.F2（5.2）则原点到其左准线的距离。答案为5√

已知椭圆与X轴相切，左右两个焦点是F1（1.1）.F2（5.2）则原点到其左准线的距离。答案为5√34/17。数具体过程

Answer 1

椭圆中心为(3,3/2)
横轴为(y=x/4+3/4)
横轴4y-x=3

纵轴为y+4x=k,过中心（3，1.5)
1.5+12=k
纵轴y+4x=13.5

(y+4x-13.5)^2/a^2+(4y-x-3)^2/b^2=1
代入y=0，
然后通过解判别式=0使得x有唯一解，解出a或b，
题目里有
c^2=17/4
把a^2/c解出然后用
|13.5-a^2/c|

追问

能把具体过程说下吗？答案是5√34/17

你这种方法貌似不对

追答

最多是数字不对，方法肯定没问题

这几天忙得不行，你自己先看看

我闲的时候可以多帮帮，自己多开动脑筋

(4x-13.5)^2/a^2+(x+3)^2/b^2=1
(16/a^2+1/b^2)=A
(-27*4/a^2+6/b^2)=B
(13.5/a)^2+(3/b)^2-1=C
通过B^2=4AC得出a^2,b^2关系
还有a^2-b^2=c^2=17/4
然后可以解了
有a^2/c就是椭圆中心到左准线距离
然后左准线是一个y+4x=某数的直线
这些都鸡毛蒜皮的东西

准线到原点距离用点线距离公式

可以试试
设1/a^2=p
1/b^2=q
(16p+q)(13.5^2p+9q-1)=(-54p+3q)^2

1/p-1/q=17/4

17a^2/4-17b^2/4=17/4
a^2-b^2=1
1/p-1/q=1
转动后忘了变比例了。。。

那个原来的
a^2/c应该是
(17a^2/4)/(根（17）/2)

不行这样好了，试试这种
椭圆到左焦点距离/椭圆到左准线距离=e
((x-1)^2+(y-1)^2)(4^2+1)/(4x+y+k)^2=e^2
代入y=0
((x-1)^2+1)17=e^2(4x+k)^2
(x^2-2x+2)c^2*17=a^2(16x^2+8kx+k^2)
A=17-16a^2
B=-34c^2-8a^2k
C=34c^2-a^2k^2
B^2=4AC得到a，k关系
c^2=17/4
(17c^2+4a^2k)^2=(17-16a^2)(34c^2-a^2k^2)

然后根据这个准线到椭圆中心距离是a^2/c
|12+1.5+k|/根号17=a^2/c
c=（根号17）/2
|13.5+k|=2a^2

把两个a，k关系联合就求出k来了

原点到准线4x+y+k=0的距离为|k|/根号17

Answer 2

其实，这个答案是错的，正确答案是√17/17。

我的方法可以大大的简化计算。。。。

不要怀疑哥，我已经求出了椭圆的方程，上图，各参数毫无偏差，而且与x轴相切：

设与这个椭圆相关的标准椭圆为：x^2/a^2+y^2/b^2=1。

这个椭圆，可以看做原椭圆逆时针旋转了角度a（其中tana=1/4，所以sina=1/√17, cosa=4/√17), 然后沿着向量(3,3/2)移动后形成的。所以新旧两个椭圆的参数，a,b,c完全相同。

所以c=|F1F2|/2=√17/2。

且新椭圆的中心位于F1F2的中点(3,3/2)

所以, 设标准方程的点坐标为M(x0,y0)。这个椭圆的点坐标为N(x,y)。

那么，只要把N沿着向量(-3,-3/2)移动，然后顺时针旋转a, 就得到了M。

所以，

x0=(x-3)cosa+(y-3/2)sina=1/√17 (4x+y-(27/2))，

y0=(x-3)sin(-a)+(y-3/2)cosa=-1/√17 (x-4y+3)。

所以只要把x0,y0带入x^2/a^2+y^2/b^2=1就可以了。

下面求出新的椭圆的参数方程，因为新椭圆是个倾斜的椭圆，并且与x轴相切，那么他

应该与椭圆切于椭圆的最低点，此时y取到最小值0。所以有了下面的步骤。

由于x^2/a^2+y^2/b^2=1的参数方程为：

x0=acost，y0=bsint，

所以令

1/√17 (4x+y-(27/2))=acost，

-1/√17 (x-4y+3)=bsint,

两个式子联立解得：

y=3/2+(acost-4bsint)/√17

根据辅助角公式，

y(min)=3/2-√(a^2+16b^2)/√17=0

得到：64a^2+4b^2=153，

又因为a^2-b^2=c^2=(√17/2)^2

解得a^2=25/4.

由于新椭圆的长轴位于y-1=(1/4)(x-1)，

那么他的准线是个垂直于长轴的直线，所以可以设准线y=-4x+b。

并且这个准线到新椭圆中心(3,3/2)的距离为a^2/c=25/(2√17)

所以可以求出b=1或26, 由于是左准线，所以b=1.

准线方程为4x+y-1=0。

所以原点到准线的距离为1/√17=√17/17