Question

lim x->∞∫|sint|dt/x 积分上下限是 (x,0)

lim x->∞∫(0-π*x/π)|sint|dt/x
lim x->∞ x/π∫(0-π)|sint|dt/x
lim x->∞1/π∫|sint|dt
lim x->∞1/π∫sintdt
1/π(-cos x)/(0-π)
=2/π

Answer 1

设nπ<x<(n+1)π
x->+∞，等价于n->+∞
且π<x/n<(1+1/n)π
所以利用夹逼定理
lim(n->+∞) x/n=π

∫(0->x)|sint|dt
=∫(0->nπ)|sint|dt + ∫(nπ->x)|sint|dt
=2n+ ∫(0->x-nπ)|sint|dt
=2n+∫(0->x-nπ)sintdt
=2n+1-cos(x-nπ)
=2n+1-(-1)^ncosx

所以
lim (x->+∞)[∫(0->x)|sint|dt] /x
=lim (n->+∞) [2n+1-(-1)^ncosx]/x
=lim (n->+∞) [2+(1-(-1)^ncosx)/n]/(x/n)
=2/π

x->-∞，设-(n+1)π<x<-nπ
也得出了limlim (x->-∞)[∫(0->x)|sint|dt] /x=2/π

所以得出
lim (x->∞)[∫(0->x)|sint|dt] /x=2/π

Answer 2

被积函数永远＞=0，易知分子→∞。
根据洛比达法则，原式=lim(x→∞) |sinx|
极限不存在

追问

不能用洛必达法则