Question

如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°,F为AB的中点

(1)求证:平面ADE⊥平面ABE;
(2)求二面角A-EB-D的大小的余弦值;
(3)求点F到平面BDE的距离.
最后应是F为AE的中点

Answer 1

⑴，BD＝√5,BE＝2√3（余弦定理）。∴∠AEB＝30°,BF＝AB＝2,AE＝4, DF＝1

BD²＝BF²+FD².∴DF⊥FB.∵AD＝DE＝√5,∴DF⊥AE（三合一），∴DF⊥ABE

∴ADE⊥ABE.

⑵ 设G为BE中点，∵DE＝DB＝√5.∴DG⊥BE,CE⊥BE（三合一）。

∠CGD为二面角C-BE-D的平面角，CG＝1,DG＝√2.CD＝1,∠CGD＝45º

∵A-BE-D与D-BE-C互余，∴二面角A-EB-D为45º。余弦值＝1/√2

⑶ FG‖AB（中位线），FG＝AB/2＝1,FG⊥BE（∵AB⊥EB）.从⑵，

F到平面BDE的距离＝FGsin45º＝1/√2（长度单位）