Question

大一高数题，求极限两道

详细过程谢谢

Answer 1

⑴任给ε>0,要使│sin√(n+1)-sin√n│<ε,
│sin√(n+1)-sin√n│=│2cos(√(n+1)+√n)/2* sin(√(n+1)-√n)/2│
≤│2 sin(√(n+1)-√n)/2│=│ 2sin1/(√(n+1)+√n)/2│
< 2sin(1/√n)<ε,
sin(1/√n)<ε/2, 1/√n<arcsin ε/2,√n>1/ arcsin ε/2
∴任给ε>0，可以找到N=[(1/ arcsin ε/2)^2]，当n>N时有│sin√(n+1)-sin√n│<ε,
∴lim[sin√(n+1)-sin√n]=0 (打字不便，lim下的n→∞省略）
⑵任给ε>0,要│√[7/(16x^2-9)]-1│<ε,先作如下变形,
因研究x→1的函数变化，无妨设16x^2-9>4,即x>√13/4
│√[7/(16x^2-9)]-1│
=│[7/(16x^2-9)-1]/{√[7/(16x^2-9)]+1}│
=│[ 16(x-1)(x+1)*1/ (16x^2-9){√[7/(16x^2-9)]+1} │<│(x-1)*16/(16x^2-9)││< │4(x-1)│<ε
∴任给ε>0，可以找到δ=min（ε/4，1-√13/4），当│x-1│<δ时，有│√[7/(16x^2-9)]-1│<ε,
∴lim[√[7/(16x^2-9)]=1
注：在用ε-N、ε-δ语言证明时，把不等式左边适度放大以化简是一种常用技巧。

Answer 2

很简单，我提示一下你马上可以独立做出来
（1）用和差化积公式以及|sin x| <= |x|，得到|sin a -sin b| <= |a-b|
（2）两边做差后分子有理化，适当放缩（可以直接去掉分母）