Question

已知函数f(x)=x^2/x-2,(x∈R,且x≠2) (1)求f(x)的单调区间

(2)若函数g(x)=x²-2ax与函数f(x)在x∈[0,1]时有相同的值域,求a的值
不用导数的方法怎么做？必须用导数？

Answer 1

(1)设x2>x1,f(x2)-f(x1)=[(x1-2)x2^2-(x2-2)x1^2]/(x2-2)(x1-2)=[2x1x2-4(x2+x1)](x2-x1)]/2(x2-2)(x1-2)
=[(x1-4)x2+(x2-4)x1](x2-x1)/2(x2-2)(x1-2)
当x∈(-∞,0)即x1<x2<0时.(x1-4)x2>0,(x2-4)x1>0,x2-x1>0,(x2-2)(x1-2)>0,所以f(x2)-f(x1)>0,函数单调递增，当x∈(0，4）即0<x1<x2<4.(x1-4)x2<0,(x2-4)x1<0,x2-x1>0,(x2-2)(x1-2)>0,所以f(x2)-f(x1)<0,函数单调递减，当x∈(4，+∞）即4<x1<x2.(x1-4)x2>0,(x2-4)x1>0,x2-x1>0,(x2-2)(x1-2)>0,所以f(x2)-f(x1)>0,函数单调递增，
(2)因为x∈[0,1]时函数单调递减其值域为[-1,0],g（x）是一个开口向上的二次函数。g（0）=0，g(1)=1-2a,当-2a/-2=a<0即a<0时，顶点在定义域左边，函数单调递增，所以g（0）=-1，g（1）=0，而g（0）=0不满足，当0<=a=<1时，g（a）=-1，解得a=1，即此时g（1）=-1，g（0）=0满足条件
当a>1时，函数单调递减，所以g（0）=0，g（1）=-1，即1-2a=-1，解得a=1，综上a=1