Question

高中 不等式

R>0,h>0,r>0,R为定值h²/4+r²=R² 求r²h的最大值
当rh取最小值时，r²h一定取最小值？为什么

Answer 1

可以利用三元均值不等式：
R²
=h²/4+r²
=h²/4+r²/2+r²/2 (三元均值不等式)
>=3*[3次根号下(h²/4*r²/2*r²/2)]
由此可知 hr²<=4R^3/(3根号3)，这就是 r²h 的最大值。最大值当且仅当 h²/4=r²/2，即 h²=2r² 时取得。

也可以由 r²=R²-h²/4 代入 r²h 得到关于h的函数
f(h)=r²h=(R²-h²/4)h，由此利用导数也可以求得最值，但不如均值不等式简单。

Answer 2

h²/4+r²=R² ，hr<=R^2(当且仅当h=2r时取等号）
r²h<=rR^2(当且仅当h=r时取等号)
h=r,r=√2/2R
则r²h最大值等于√2/2R^3