Question

数学高手救命啊！！！

如图，AB为半圆直径，C、D是AB上异于A、B的任意两点，引EC⊥AB交半圆于E，连结DE，作CF⊥DE，垂足为F，CF的延长线交AE于G，求证：EG/GA=BC／CD.

Answer 1

你应该也学了正弦定理了吧，我是利用三角形面积公式S=1/2absinC
EG/GA=(1/2*EC*GC*sin∠ECG)/(1/2*AC*GC*sin∠ACG)
=（EC*sin∠ECG）/(AC*sin∠ACG)
=(EC/AC)*(sin∠ECG)/(sin∠ACG)
同理
EF/FD=(EC/DC)*(sin∠ECG)/(sin∠ACG)

故(sin∠ECG)/(sin∠ACG)=（EF/FD）*（DC/EC）

故EG/GA=（EF/FD）*(DC/AC)

又由于F是直角三角形ECD的垂心
就是一堆三角形相似
EF/FD=EC2/DC2
EG/GA=EC2/(AC*DC)

接下来就简单了,连接EB，三角形ABE又是直角三角形，一堆相似三角形
BC/EC=EC/AC
BC=EC2/AC
所以BC/DC=(EC2/AC)/DC=EC2/(AC*DC)=EG/GA
即BC/DC=EG/GA