Question

在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc且SinA=2SinBcosC,判断△ABC的形状

速度啊

Answer 1

（a+b+c）（b+c-a）
=(b+c)�0�5-a�0�5
=b�0�5+c�0�5+2bc-a�0�5
则b�0�5+c�0�5+2bc-a�0�5=3bc
则b�0�5+c�0�5-a�0�5=bc
又由余弦定理
a�0�5=b�0�5+c�0�5-2bccosA
则cosA=(b�0�5+c�0�5-a�0�5)/2bc=1/2
又A∈（0，π)
则A=π/3
sinA=2sinBcosC
sinA=sin(π-B-C)
=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC
则sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
则sinBcosC=cosBsinC
显然cosB, cosC都不为0，则两边同除cosBcosC有
tanB=tanC
又B,C∈(0,π)
则B=C
又B+C=π-A=2π/3
则B=C=π/3
所以三角形为等边三角形

Answer 2

解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc
∴（b+c）2-a2=3bc
b2+2bc+c2-a2=3bc
b2-bc+c2=a2
根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA
∴b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA
bc=2bccosA
cosA=12
∴A=60°
又由sinA=2sinBcosC，
则sinAsinB=2cosC，即ab=2a2+b2-c22ab，
化简可得，b2=c2，
即b=c，
∴△ABC是等边三角形

Answer 3

其实我很想给你做的，但是有关于三角形的知识我都忘记了，不知道怎么写了