Question

若正实数a,b满足ab=a+b+3,则a2+b2的最小值为？！！！

Answer 1

由a+b+3=ab可得，
(a+b)^2 = (ab-3)^2
于是a^2+b^2+2ab= a^2*b^2-6ab+9
又由于a^2+b^2 >= 2ab
所以a^2*b^2-8ab+9 >= 2ab
所以(ab-9)(ab-1) >= 0
所以ab >= 9 或是 ab <= 1
但是ab= a+b+3 > 3(a,b均为正实数）
所以ab >= 9
所以a^2 + b^2 >= 2ab >= 18
而当a=b=3时，可以满足上述条件，正好可以得到最小值18
因此，a^2 + b^2的最小值为18

Answer 2

请采纳，谢谢

Answer 3

因为a+b=1
所以b=1-a
则a^2+b^2=a^2+(1-a)^2
=2a^2-2a+1
=2(a^2-a+1/4+1/4)[这里是为了配方]
=2（a-1/2)^2+1/2
由上式知，只有当(a-1/2)^2等0时，原式有最小值，为1/2，即0.5