Question

已知函数f（x）=x²+2x×tanθ-1，x∈【-√3，√3】。

（1）当θ=-π/6，求f（x）的最大值，最小值。（2）求使f（x）在区间【-1，√3】上是单调函数的θ的取值范围

Answer 1

(1)
θ=-π/6
tanθ=-√3/3
f（x）=x²-2√3/3x-1
对称轴是x=√3/3
x∈【-√3，√3】
最小值=f(√3/3)=1/3-2/3-1=-4/3
最大值=f(-√3)=3+2-1=4
(2)
f（x）=x²+2x×tanθ-1，
对称轴是x=-tanθ
使f（x）在区间【-1，√3】上是单调函数
当f(x)是增函数时
-tanθ<=-1
即tanθ>=1
∴π/4+kπ<=θ<π/2+kπ，k∈Z
当f(x)是减函数时
√3<=-tanθ
tanθ<=-√3
∴-π/2+kπ<θ<=-π/3+kπ，k∈Z
综上
θ的取值范围(-π/2+kπ,-π/3+kπ]∪[π/4+kπ,π/2+kπ)，k∈Z

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