Question

△ABC为直角三角形，角ABC＝90度，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BD边的中点.求证：

△ABC为直角三角形，角ABC＝90度，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BD边的中点.求证：O、B、D、E四点共圆

Answer 1

连接OE、OD、BE；易知OD//AC，所以角DOE=角AEO=角A=角DOB，且OD=OD、OE=OB，所以三角形ODE全等于OBD
所以角OED=角DBO=90度，那么E和B一定在以OD为直径的圆上，所以OBDE四点共圆。

Answer 2

△ABC为直角三角形，角ABC＝90度，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点.求证：O、B、D、E四点共圆
连接OE,BE,OD,DE
∵AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°,OB=OE
又，∠ABC=90°，∠A=∠A
∴∠ABE=∠OEB=∠C
∵O,D分别是AB,BC的中点
∴OD//AC
∠ODB=∠C
∴∠ODB=∠OEB

因此，O、B、D、E四点共圆

Answer 3

高三学生，正在做这题，自我感觉自己的相对简便

连接OE，
∵O、D分别为AB、BD的中点
∴OD//AC
∴∠BOD=∠A
∠DOE=∠OEA
∵OA=OE
∴∠A=∠OEA
∠BOD=∠DOE
∴△OBD≌△OED（边角边）
又∵∠ABC=90º ∴∠OED=90º
∴O，B，D，E四点共圆