Question

设抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过F且与抛物线C交于M,N两点

设抛物线C：y^2=2px的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M、N两点，已知直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2（O为坐标原点）（1）求抛物线C的方程 (2)是否存在直线l，使得以M、N为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由

Answer 1

要证明以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切，就要满足圆心O到准线的距离为AB一半(即半径）。
已知A(X1,Y1),B(X2,Y2)，设焦点为F
因为抛物线上任一点到焦点的距离等于其到准线的距离
所以AB=AF+BF=X1+P/2+X2+P/2=X1+X2+P
而O为AB的中点，坐标为（[X1+X2]/2，Y1+Y2/2）
所以O到准线的距离= [X1+X2]/2+P/2=AB/2
得证