Question

已知三角形ABC的顶点A(3,-1),点B的角平分线所在方程为x-4y+10=0

过点C的中线方程为6x+10y-59=0,求顶点B的坐标

Answer 1

关于解析式中的“(KBD-KBC)/(1+KBD*KBC)=(KAB-KBD)/(1+KAB*KBD)”的解释：
“KBD”表示直线BD的斜率，其余的也是这个意思
我们知道直线的斜率和直线的倾斜角有关，斜率K就等于倾斜角的正切值(tan)
为了便于理解，我们不妨过B作一条平行于x轴的射线BE
那么：KBD=tanDBE, KBC=tanCBE
等号左边的(KBD-KBC)/(1+KBD*KBC)可转化为(tanDBE-tanCBE)/(1+tanDBE*tanCBE)，也就等于tan(DBE-CBE)，即tanDBC
同样的道理，等号右边可转化为tanABD
由于BD是角平分线，所以它们是相等的
利用这个相等的关系列出等式，然后代入已知(可以求得)的角B平分线BD的斜率，就能得到直线AB和直线BC的斜率之间的关系
要注意的是，在用这个关系式的时候不能搞错到底是哪个角减去哪个角

以下是解题过程：
设B(Xb, Yb)
B在BD上
所以 Yb=(Xb+10)/4
所以 B(Xb, (Xb+10)/4)
所以 AB中点((Xb+3)/2, (Xb+6)/8)
AB的中点在中线 6x+10y-59=0 上
所以 3(Xb+3)+5(Xb+6)/4-59=0
解得 Xb=10
所以 B(10, 5)
所以 AB斜率KAB=6/7

(KBD-KBC)/(1+KBD*KBC)=(KAB-KBD)/(1+KAB*KBD)
(1/4-KBC)/(1+KBC/4)=(6/7-1/4)/(1+3/14)
(1-4KBC)/(4+KBC)=(24-7)/(28+6)=1/2
KBC=-2/9
所以 BC方程(点斜式)：y-5=(-2/9)*(x-10)，即 2x+9y-65=0

不用抢速度的话可以慢慢写~

Answer 2

B(10, 5)